Дії

Арифметичні дії над натуральними числами

Порівняння натуральних чисел

Порівняти два натуральних числа – означає з’ясувати, яке з них більше, а яке – менше. Результати порівняння записують за допомогою знаків менше (<) або більше (>). Такі записи називаються нерівностями.

Із двох натуральних чисел, які розміщені на координатному промені, більше те, яке розміщене правіше, і менше те, що розміщене лівіше.

Якщо натуральні числа мають різну кількість цифр, то більше те число, в запису якого більше цифр, і менше те число, в запису якого менше цифр.

Якщо в запису натуральних чисел однакова кількість цифр, то для їх порівняння користуються таким правилом: із двох натуральних чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якого більшою є перша з неоднакових цифр. При цьому порівняння здійснюють, рухаючись зліва направо.

Приклади: 117568 > 1907; 24267 < 24367.

Округлення натуральних чисел

1. Округлюючи натуральне число до певного розряду, всі цифри, що йдуть за ним, замінюють нулями.
2. Якщо перша наступна за цим розрядом цифра 5, 6, 7, 8 або 9, то останню цифру, яка залишилася, збільшують на одиницю; якщо перша наступна за цим розрядом цифра 0, 1, 2, 3 або 4, то останню цифру, яка залишилася, не змінюють.

Приклад 1. Округлити число 85 357 до тисяч.

85 357 ≈ 85 000.

Приклад 2. Округлити число 68 792 до найвищого розряду.

Найвищим розрядом даного числа є десятки тисяч. Тому цифри 8, 7, 9 та 2 замінюємо нулями. Цифру в розряді десятків тисяч 6 збільшуємо на одиницю, оскільки наступна за нею цифра 8.

Отже: 68 972 ≈ 70 000.

Додавання

У записі a + b = c числа a і b — доданки, число с, а також вираз a + b — сума чисел а і b.

Додавання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (додавання одноцифрових чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика).

Властивості додавання:

1. Переставна. Від перестановки доданків сума не змінюється: a + b = b + a.
2. Сполучна. Щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого й третього чисел: (a + b) + c = a + (b + c). Переставна й сполучна властивості додавання дають змогу виконувати додавання кількох чисел у будь-якій послідовності.
3. Якщо один із двох доданків 0, то їх сума дорівнює другому доданку: a + 0 = a, 0 + a = a.

Віднімання

Дія, за допомогою якої за відомою сумою двох доданків і одним із них знаходять другий доданок, називається дією віднімання: a – b = c. У цьому записі число а — зменшуване, b — від’ємник, c — різниця. Різниця двох натуральних чисел показує, на скільки перше число більше від другого або на скільки друге число менше від першого.

Віднімання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (віднімання одноцифрових чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика).

Властивості віднімання.

1. Щоб відняти суму від числа, можна спочатку відняти від цього числа один доданок, а потім від отриманої різниці — другий: 25 – (15 + 3) = (25 -15) – 3 = 10 – 3 = 7.
2. Щоб від суми відняти число, можна відняти його від одного з доданків, а до отриманої різниці додати другий доданок: (37 + 15) – 17 = (37 – 17) + 15 = 20 + 15 = 35; (23 + 19) – 9 = 23 + (19 – 9) =23 + 10 = 33.
3. Якщо від числа відняти нуль, воно не зміниться: a – 0 = a.
4. Якщо від числа відняти те ж саме число, одержимо 0: a – a = 0.

Множення

Помножити число a на число b означає знайти суму b доданків, кожний із яких дорівнює а: або a · b = c, де a і b — множники, c — добуток.

Властивості множення:

1. Переставна. Від перестановки множників добуток не змінюється: a · b = b · a.
2. Сполучна. Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого й третього чисел: (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c.
3. Розподільна. Щоб помножити суму на число, можна кожний доданок помножити на це число і знай­де­ні добутки додати: (a + b) · c = ac + bc. 
4. Щоб помножити різницю на число, можна зменшуване і від’ємник помножити на це число й від першого добутку відняти другий: (a – b) · c = ac - bc.
5. Якщо одиницю помножити на будь-яке число, дістанемо те саме число: a · 1 = 1 · a = a.
6. Якщо хоча б один множник дорівнює 0, добуток дорівнює 0: 0 · a = a · 0 = 0.

Приклади:

68 · 7 + 32 · 7 = (68 + 32) · 7 = 100 · 7 = 700;

59 · 5 = (60 – 1) = 60 · 5 – 1 ·5 = 300 – 5 = 295.

Множення багатоцифрових натуральних чисел виконується «у стовпчик». Наприклад: 459 · 275 = 126225.

Ділення

Ділення — дія, за допомогою якої за відомим добутком і одним із множників знаходять другий множник.

Якщо a · b = c, то c : b = a і c : a =b. У записі c : b = a число с — ділене, b — дільник, число а, а також вираз c : b — ­частка. Частка показує, у скільки разів ділене більше дільника.

Ділення багатоцифрових чисел виконується «кутом».

Наприклад: 11396 : 28 = 407.

113 сотень: 28 = 4 сотні (остача 1 сотня);

19 десятків: 28 = 0 десятків (остача 19 десятків);

196 : 28 = 7.

Властивості ділення:

1. На 0 ділити не можна.
2. Якщо розділити число на 1, дістанемо те саме число: a : 1 =a.
3. Якщо розділити число на себе, дістанемо 1: a : a = 1(a ≠ 0).
4. Якщо розділити 0 на будь-яке число, крім 0, дістанемо 0: 0 : a = 0 (a ≠ 0).

Ділення з остачею

Число а ділиться на число b націло, якщо a = b · n, де n — , будь-яке натуральне число.

Наприклад, 15 ділиться націло на 3, оскільки 15 = 3 · 5.

В іншому випадку можна поділити а на b з остачею. Наприклад:

289 = 15 · 19 + 4.

У цьому записі число 289 — ділене, 15 — дільник, 19 — неповна частка, 4 — остача.

Для будь-яких чисел а та b завжди знай­дуться такі числа с і r (натуральні або 0), що a = b · c + r, де r < b. Коли r =0, то a = b · c, тобто число а ділиться як на число b, так і на число c.