НСД і НСК

Найбільший спільний дільник (НСД) та найменше спільне кратне (НСК) натуральних чисел

Найбільше натуральне число, на яке діляться без остачі числа m і n, називають найбільшим спільним дільником цих чисел. Позначають таке число НСД (m;n).

Найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.

Правило, як знайти НСД.

1. Розкласти дані числа на прості множники і записати їх, використовуючи поняття степеня.
2. Виписати всі прості числа, які одночасно входять у кожен з отриманих розкладів.
3. Кожне з виписаних простих чисел взяти з найменшим із показників степеня, з якими воно входить до розкладання даних чисел.
4. Записати добуток отриманих степенів.

Приклад.Знайдемо НСД(48; 36).

Розклавши на прості множники кожне з цих чисел і записавши їх, використовуючи поняття степеня , отримаємо:

48 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3=  2⁴⋅ 5

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2² · 3²

Отже, НСД(48; 36) = 2² · 3.

Приклад.Знайдемо НСД(20; 27).

Розклавши на прості множники кожне з цих чисел і записавши їх, використовуючи поняття степеня , отримаємо:

20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 2² ⋅ 5

27 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3³

Отже, у даних чисел немає інших спільних множників, крім 1, тобто число 1 — єдиний спільний дільник даних чисел.

НСД(20;27)=1.

Натуральні числа називають взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Числа 20 і 27 — взаємно прості.

Ознака подільності на добуток взаємно простих чисел: якщо число ділиться на кожне із взаємно простих чисел, тоді воно ділиться і на їх добуток.

Приклад:

Число 540 ділиться як на 20, так і на 27. Отже, 540 буде ділитися і на їх добуток 540 : (20 ⋅ 27) = 540 : 540 = 1.

Найменшим спільним кратним натуральних чисел m і n називають найменше натуральне число, яке кратне і m, і n. Найменше спільне кратне позначаємо НСК(m;n).

Знаходження найменшого спільного кратного застосовується при виконанні дій додавання і віднімання дробів з різними знаменниками. Виконуючи ці дії, зазвичай намагаються знайти найменше спільне кратне знаменників.

Найменше спільне кратне кількох чисел можна також знайти, не виписуючи поспіль кратні цих чисел.

Правило, за яким можна знайти НСК кількох чисел.

1. Розкласти дані числа на прості множники і записати їх, використовуючи поняття степеня.
2. Виписати всі прості числа, які входять хоча б в один із отриманих розкладів.
3. Кожне з виписаних простих чисел взяти з найбільшим із показників степеня, із якими воно входить до розкладання даних чисел.
4. Записати добуток отриманих степенів.

Приклад:

Маємо,

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2² ⋅ 3

15 = 3 ⋅ 5.

Із найбільшими показниками — це числа 2²; 3¹; 5¹.

Тому НСК(12; 15) = 2² ⋅ 3 ⋅ 5 = 60.

Для будь-яких натуральних чисел a і b правильна рівність: НСД(a; b)⋅ НСК(a; b)=a⋅ b

Наприклад:

56 = 23 ⋅ 7

Найменше спільне кратне взаємно простих чисел дорівнює їх добутку.

НСК(7; 23)=7·23=161.