Прості і складені числа. Розкладання натурального числа на множники

Натуральні числа, що мають тільки два дільники — одиницю і само себе , називають простими.

Приклад. Числа 2; 3; 5; 7; 11 — прості, оскільки діляться тільки на 1 і самі на себе, тобто мають два дільники.

Натуральні числа, що мають більше двох дільників, називають складеними.

Приклад. Числа 4; 6; 8; 10 — складені, оскільки діляться не тільки на 1 і самі на себе, а ще, наприклад, на 2, тобто мають більше двох дільників.

Число 1 не належить ні до простих, ні до складених чисел.

Число 48 — складене, оскільки, крім 1 і 48, воно ділиться, наприклад, ще на 2.

Це число можна подати у вигляді добутку простих чисел.

При розкладанні числа на прості множники використовують ознаки подільності та застосовують запис стовпчиком, при якому дільник розташовують праворуч від вертикальної риски, а частку записують під діленим.

Знаючи, що добуток однакових множників можна записати у вигляді степеня, отримаємо:

48 = 2  ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2⁴ ⋅ 3.

Подання числа у вигляді добутку простих чисел називають розкладанням числа на прості множники.

Приклад.

тобто 375 = 3  ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5³ ⋅ 3.

Основна теорема арифметики. Будь-яке натуральне число (крім 1) або є простим, або його можна розкласти на прості множники, причому єдиним способом.

У ході виконання різних завдань зручно користуватися таблицею простих чисел. Знаходження дільників для великих чисел — справа нелегка. Тому для спрощення роботи складена таблиця простих чисел.

В таблиці найбільше просте число 997. Проте це не найбільше просте число. Давньогрецький математик Евклід довів приблизно 2300 років тому, що найбільшого простого числа не існує.

Давньогрецький вчений Ератосфен (276-194 ст. до н.е.), запропонував свій простий стародавній алгоритм знаходження всіх простих чисел. Цей засіб має назву "решето Ератосфена".

Більше цікавої інформації ви можете знайти перейшовши за посиланнями даними знизу.

Теоретичні відомості

Розрахунки

Натуральні числа

Дільники і кратні. Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10

Дільники і кратні

Якщо одне натуральне число ділиться націло на інше натуральне число, тоді перше число називають кратним другого числа, а друге число —дільником першого числа.

Дільником натурального числа a називають число, на яке a ділиться без остачі.

Наприклад:

• 5 — дільник числа 120, оскільки 120=5 ⋅ 24.
• число 15 має чотири дільники: 1, 3, 5, 15, бо на кожне з них ділиться без остачі.
• число 1 є дільником будь-якого натурального числа, оскільки будь-яке число ділиться на 1 без остачі.

Найменшим дільником будь-якого натурального числа є число 1 , а найбільшим — саме це число.

Кратним натуральному числу a називають число, яке ділиться без остачі на a.

Будь-яке натуральне число має нескінченно багато кратних.

Найменшим із кратних натурального числа є само це число , а найбільшого кратного не існує.

Наприклад: перші п'ять чисел, кратних числу 9, такі: 9, 18, 27, 36, 45.

Для будь-якого числа а кожне з чисел виду а·1; а·2; а·3; . . .; а·n (n-натуральне число) є кратним числа а .

Наприклад: число 21 не є кратним числу 5, оскільки не ділиться на 5 без остачі. 21=5 ⋅ 4(остача 1).

Ознаки подільності

На 2: натуральне число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2.

На 3: натуральне число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

На 5: натуральне число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра або 0, або 5.

На 9: натуральне число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.

На 10: натуральне число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра 0.

Натуральні числа. Число нуль

Щоб полічити (порахувати) будь-які предмети, людей, тварин, використовують натуральні числа.

Натуральні числа – це числа, якими користуються при лічбі: один, два, три, чотири, п’ять, шість, сім, вісім, дев’ять, десять, одинадцять, дванадцять і так далі. Такий ряд чисел називають ряд натуральних чисел.
Зверніть увагу!

• ряд натуральних чисел починається з числа «один» (1). «Один» — це найменше натуральне число;
• ряд натуральних чисел записують зазвичай у порядку зростання. Кожне наступне число, починаючи з другого, на один більше, ніж попереднє;
• ряд натуральних чисел нескінченний. Для будь-якого натурального числа можна назвати наступне, додавши до даного числа один. Отже, найбільшого натурального числа не існує.

Запам’ятайте! Цифр – десять, натуральних чисел – безліч.
У записі натуральних чисел відсутність одиниць якогось розряду показують цифрою «нуль» (0). Цим знаком позначають також і число «нуль». Це число означає «жодного». Якщо від деякого числа а відняти рівне йому число а, то одержимо число нуль.
Зверніть увагу! Число «нуль» не є натуральним числом.
Число нуль має такі властивості:

• якщо до будь-якого числа а додати число нуль, одержимо число а;
• якщо від будь-якого числа а відняти число нуль, одержимо число а;
• якщо будь-яке число а помножити на число нуль, одержимо число нуль.

Зверніть увагу! Ділити на нуль не можна.

Щоб записати натуральні числа, використовують знаки, які називаються цифрами. Система запису чисел, якою ми користуємось, називається десятковою, оскільки вона містить десять цифр:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.